¶ Formulation de base
La variable descriptive d’un paramètre de qualité est la concentration C du réactant (masse/volume). Dans EXPRESS-EAU ce paramètre est défini à chaque nœud de calcul et à l’intérieur d’un élément capacitif tel qu’un tronçon de canalisation ou un réservoir.
Les réactants auxquels on s’intéresse en priorité sont :
- le chlore
- le trihalométhane
- un traceur passif
- le temps de séjour (ce dernier paramètre n’est pas à proprement parlé un réactant mais il obéit aux même lois de transport qu’un paramètre physico chimique).
¶ Equation de transport le long d'une canalisation
Trois mécanismes gouvernent l’évolution du paramètre Ci(x,y) à l’intérieur d’un tronçon :
- transport par convection
- transport par dispersion
- réaction physico chimique
Le transport par dispersion (2) est négligé.
¶ Equation de transport dans les autres liaisons
Le flux de matière est conservé à travers les autres liaisons.
¶ Equation de transport dans un élément nodal
Un élément nodal est généralement associée à un débit sortant ou entrant dans le réseau.
- Cas d’un débit sortant : le flux sortant est égal à : FL = QL x CA, où CA est la concentration au nœud A.
- Cas d’un débit entrant : le flux entrant est une donnée connue, définie par l’utilisateur : FL = F0.
¶ Cas particulier du réservoir
EXPRESS-EAU propose plusieurs modèles de mélange pour les réservoirs. Ces modèles sont détaillés à la page reservoir node.
¶ Modélisation des réactions physico-chimiques
Les réactions chimiques altérant la masse de réactant peuvent agir :
- dans la masse d’eau,
- le long des parois.
La fonction f de l’équation est décomposée en deux fonctions : f = f1 + f2
¶ Réaction dans la masse d'eau
Les éléments concernés sont les objets de modélisation capacitifs : tronçons de canalisation et réservoirs. La fonction f1 de l’équation dépend du réactant. La liste ci-dessous précise son expression pour les réactants les plus utilisés :
- Chlore : f1 = -KBCL x C où KBCL est la constante de réaction.
- Trihalométhane : f1 = KBTHM x (C-CL) où KBTHM est la constante de réaction et CL la concentration limite.
- Traceur passif : f1 = 0
- Temps de séjour : f1 = 1
¶ Réaction aux parois
La réaction aux parois s’applique aux tronçons de canalisation.
La fonction f2 pour le chlore s’écrit : f2 = -4 KWCL x C
Où D est le diamètre de la canalisation et KWCL la constante de réaction aux parois, de la dimension d’une vitesse.
¶ Calcul de la provenance de l'eau
Cette fonction se ramènent à N calcul de simulations de qualité, N étant le nombre de sources : dans une simulation une source est affectée d’une concentration unité les concentrations des autres sources sont mises égales à 0. Le calcul est effectué en séquence pour toutes les sources. En fin de calcul on obtient en chaque nœud et à chaque pas de temps la fraction de concentration en provenance de chaque source. De plus la somme des fractions est en principe égale à 1 si toutes les sources du modèle ont été sélectionnées.Discrétisation des équations
¶ Tronçons de canalisation
L’équation (5) est réécrite sous forme intégrale :
La forme de l’équation discrétisée dépend du sens de l’écoulement aux nœuds extrémités A et C ; dans le cas du schéma ci-dessus (QA > 0 et QC > 0) les équations sont discrétisées comme suit :
¶ Autres singalarités
Des traitements analogues à ceux présentés ci-dessus conduisent pour chaque singularité bi nodale à écrire un système local linéaire de la forme :
Cette formulation nécessite de considérer tous les cas de figures relatifs la répartition des débits aux nœuds extrémités de chaque élément : on raisonne donc localement en représentation lagrangienne de l’écoulement.
¶ Assemblage des équations discrétisées et méthode de résolution
Les variables «flux» sont éliminées en écrivant que la somme algébrique des flux aboutissant à un nœud donné est nulle. On obtient ainsi un système matriciel global de la forme :
Où Fi désigne un flux sortant ou rentrant d’une liaison connectée au nœud.
La substitution des équations des liaisons (10), (11), (12) dans les équations aux nœuds (13) fournit le système matriciel global suivant :
où :
- K est une matrice carrée de rang N, N étant le nombre total de nœuds du modèle,
- f est un vecteur force de dimension N,
- dC est la variation de concentration à chaque noeud entre deux pas de temps.
Le système matriciel (14) est résolu à l’aide du solveur « Pardiso » réputé pour sa précision et sa très grande rapidité.
La connaissance du vecteur [dC] permet de calculer les nouvelles concentrations (C) à chaque nœud au temps tn+1, puis les concentrations moyennes dans chaque liaison à l’aide des équations (9).
Avec cette méthode l'équation de continuité des flux aux nœuds est rigoureusement satisfaite à chaque itération.
A noter que :
- La structure de la matrice K de l’équation (14) est la même que celle de la matrice K de l’équation (3)
- La matrice K ne dépend pas du réactant, seul le membre de droite dépend du réactant.
- Le calcul des concentrations est exécuté à chaque pas de temps de calcul, juste après le calcul hydraulique.
Ces propriétés sont mises à profit pour optimiser le code de calcul lorsque les calculs de qualité sont effectués en plus des calculs hydrauliques.
¶ Mode de calcul et pas de discrétisation spatial
Le module qualité fonctionne uniquement avec les modes de calcul 1 et 3 : régime temporel graduellement variable. Au démarrage du calcul en régime transitoire les concentrations en tout point du réseau sont égales à 0. Il est donc nécessaire de prévoir une durée d’établissement des conditions de régime établi pour les concentrations dans la durée totale de simulation.
Afin de limiter les effets de diffusion numérique le pas de discrétisation le long d’un tronçon de canalisation est limité à 20 m (comme indiqué plus haut) lorsque l’option de calcul de qualité est activée : le programme ajoute automatiquement des nœuds de calculs intermédiaires pour reproduire correctement le transport des traceurs par advection.
¶ Calcul de la provenance de l’eau
Cette fonction, également disponible dans Express-Eau, se ramène à N calculs de simulations de qualité, N étant le nombre de sources : dans une simulation une source est affectée d’une concentration unité, les concentrations des autres sources sont mises égales à 0. Le calcul est effectué en séquence pour toutes les sources. En fin de calcul on obtient en chaque nœud et à chaque pas de temps la fraction de concentration en provenance de chaque source. De plus la somme des fractions est en principe égale à 1.